Question

波波斯基以游戏方式决定是否参加学校同人社还是学校芭蕾舞团，游戏规则为：以O为起点（如图正方体ABCD-EFGH的中心为点O），再从A，B，C，D，E，F，G，H这8个顶点中任取两点为终点分别得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就参加芭蕾舞团，否则就参加同人社．
（Ⅰ）求波波参加学校芭蕾舞社的概率；
（Ⅱ）若分别在左面四个顶点A，D，H，E处放置蓝球，右面四个顶点B，C，G，F处放置红球，波波斯基在上底面随机抽取2个球，在下底面随机抽取3个球，记抽得的红球个数为ξ，写出随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）以O为起点，再从A，B，C，D，E，F，G，H这8个顶点中任取两点为终点分别得到两个向量，满足条件的两个向量的个数为

C 2 8

个，这两个向量的数量积为X，当向量的两个终点在同一条棱上时X＞0，由此能求出波波参加学校芭蕾舞社的概率．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）以O为起点，
再从A，B，C，D，E，F，G，H这8个顶点中任取两点为终点分别得到两个向量，
满足条件的两个向量的个数为

C 2 8

=28个，分别为：

OA

，

OB

；

OA

，

OC

；

OA

，

OD

；

OA

，

OE

；

OA

，

OF

；

OA

，

OG

；

OA

，

OH

；

OB

，

OC

；

OB

，

OD

；

OB

，

OE

；

OB

，

OF

；

OB

，

OG

；

OB

，

OH

；

OC

，

OD

；

OC

，

OE

；

OC

，

OF

；

OC

，

OG

；

OC

，

OH

；

OD

，

OE

；

OD

，

OF

；

OD

，

OG

；

OD

，

OH

；

OE

，

OF

；

OE

，

OG

；

OE

，

OH

；

OF

，

OG

；

OF

，

OH

；

OG

，

OH

．
这两个向量的数量积为X，则X＞0的有12，分别为：

OA

，

OB

；

OA

，

OD

；

OA

，

OE

；

OB

，

OC

；

OB

，

OF

；

OC

，

OD

；

OC

，

OG

；

OD

，

OH

；

OE

，

OF

；

OE

，

OH

；

OF

，

OG

；

OG

，

OH

．
∴波波参加学校芭蕾舞社的概率p=

12

C 2 8

=

3

7

．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为1，2，3，4，
P（ξ=1）=

C 2 2 •C 2 2 •C 1 2

C 2 4 C 3 4

=

1

12

，
P（ξ=2）=

C 1 2 •C 1 2 •C 2 2 •C 1 2

C 2 4 C 3 4

+

C 2 2 •C 2 2 •C 1 2

C 2 4 C 3 4

=

5

12

，
P（ξ=3）=

C 1 2 •C 1 2 •C 2 2 •C 1 2

C 2 4 C 3 4

+

C 2 2 C 1 2 C 2 2

C 2 4 C 3 4

=

5

12

，
P（ξ=4）=

C 2 2 •C 2 2 •C 1 2

C 2 4 C 3 4

=

1

12

，
∴ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4
P	1 12	5 12	5 12	1 12

数学期望Eξ=1×

1

12

+2×

5

12

+3×

5

12

+4×

1

12

=

5

2

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的灵活运用，是中档题．