Question

设函数f（x）=asin2x-bsin²x+c（x∈R）的图象过点P（0，1），且f（x）的最大值是2，最小值为-2，其中a＞0．
（1）求f（x）表达式；
（2）若射线y=2（x≥0）与f（x）图象交点的横坐标，由小到大依次为x₁，x₂，x₃，…，x_n，…求|x_n+2-x₂|的值，并求S=x₁+x₂+…+x₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=1可求c值，f（x）可化为f（x）=

a2+ 1 4 b2

sin(2x+?)+1-

b

2

，从而可得其最大值、最小值，分别令其为2，-2可得方程组，解出a，b即可；
（2）易知f（x_n）=2（n∈N₊），可得2xn+

π

6

=2kπ+

π

2

(k≥0，k∈Z)，从而求得x_n，可判断该数列为等差数列，从而可得答案；

解答：解：（1）∵f（0）=1，∴c=1，
∴f(x)=asin2x-

b

2

(1-cos2x)+1=

a2+ 1 4 b2

sin(2x+?)+1-

b

2

，
∴

a2+ 1 4 b2 +1- b 2 =2 - a2+ 1 4 b2 +1- b 2 =-2

而a＞0，解得

a= 3 b=2

，
∴f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)；
（2）由题意，知f（x_n）=2（n∈N₊），即2xn+

π

6

=2kπ+

π

2

(k≥0，k∈Z)，
∴xn=kπ+

π

6

(k=0，1，2…)，所以{x_n}是以x1=

π

6

，公差d=π的等差数列，
∴|x_n+2-x₂|=nπ，S=x1+x2+…+x10=

x1+x10

2

•10=5(

π

6

+9π+

π

6

)=

140

3

π．

点评：本题考查三角函数与数列的综合，考查等差数列的通项公式及前n项和公式，属中档题．