【题目】如图,△ABC的外接圆⊙O的半径为5,CE垂直于⊙O所在的平面,BD∥CE,CE=4,BC=6,且BD=1,.
(1)求证:平面AEC⊥平面BCED;
(2)试问线段DE上是否存在点M,使得直线AM与平面ACE所成角的正弦值为?若存在,确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)答案详见解析;(2)存在,且.
【解析】
试题(1)要证明面面垂直,只需证明一个平面另一个平面的一条垂线,本题在中,求得
,从而得
为⊙O的直径,故
,从而可证明
面
,进而证明平面AEC⊥平面BCED;(2)以
方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系,用坐标表示相关点,利用
表示向量
的坐标,利用
列方程求
的值,从而确定点
的位置.
试题解析:(1)证明:∵平面
.
∴,又因为
,
.
故AD=,AB=10=直径长,(3分)
∴AC⊥BC.又因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BC.
∵AC∩EC=C,∴BC⊥平面ACE,又BC平面BCED,
∴平面AEC⊥平面BCED.(6分)
(2)法一:存在,如图,以C为原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线CE为z轴建立空间直角坐标系,则有点的坐标,A(8,0,0),B(0,6,0),D(0,6,1),E(0,0,4).
则=(-8,6,1),
=(0,-6,3),
设=λ
=λ(0,-6,3)=(0,-6λ,3λ),0<λ<1
故=
+
=(-8, 6-6λ,1+3λ)
由(1)易得平面ACE的法向量为=(0,6,0),
设直线AM与平面ACE所成角为θ,
则sin θ==
,解得λ=
.(10分)
所以存在点M,且时,直线AM与平面ACE所成角的正弦值为
. (12分)
法二:(几何法)
如图,作MN⊥CE交CE于N,连接AN,则MN⊥平面AEC,故直线AM与平面ACE所成的角为∠MAN,且MN⊥AN,NC⊥AC.
设MN=2x,由直线AM与平面ACE所成角的正弦值为,得AM=
x,所以AN=
x.
另一方面,作DK∥MN∥BC,得EN=x,NC=4-x
而AC=8,故Rt△ANC中,由AN2=AC2+NC2
得17x2=64+(4-x)2,∴x=2,∴MN=4,EM=2
所以存在点,且
时,直线
与平面
所成角的正弦值为
. (12分)
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【题目】给出下列说法:①方程表示的图形是一个点;②命题“若
,则
或
”为真命题;③已知双曲线
的左右焦点分别为
,
,过右焦点
被双曲线截得的弦长为4的直线有3条;④已知椭圆
上有两点
,
,若点
是椭圆
上任意一点,且
,直线
,
的斜率分别为
,
,则
为定值
.
其中说法正确的序号是________.
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【题目】已知抛物线,过点
的直线与抛物线
相切,设第一象限的切点为
.
(1)求点的坐标;
(2)若过点的直线
与抛物线
相交于两点
,圆
是以线段
为直径的圆过点
,求直线
的方程.
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【题目】我国有一道古典数学名著——两鼠穿墙:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”题意是:“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙(连线与墙面垂直),大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍,小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半,那么两鼠第几天能见面.”假设墙厚16尺,如图是源于该题思想的一个程序框图,则输出的( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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【题目】尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震释放出的能量(单位:焦耳)与地震里氏震级
之间的关系为
.
(1)已知地震等级划分为里氏级,根据等级范围又分为三种类型,其中小于
级的为“小地震”,介于
级到
级之间的为“有感地震”,大于
级的为“破坏性地震”若某次地震释放能量约
焦耳,试确定该次地震的类型;
(2)2008年汶川地震为里氏级,2011年日本地震为里氏
级,问:2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍? (取
)
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【题目】某小电子产品2018年的价格为9元/件,年销量为件,经销商计划在2019年将该电子产品的价格降为
元/件(其中
),经调查,顾客的期望价格为5元/件,经测算,该电子产品的价格下降后年销量新增加了
件(其中常数
).已知该电子产品的成本价格为4元/件.
(1)写出该电子产品价格下降后,经销商的年收益与实际价格
的函数关系式:(年收益=年销售收入-成本)
(2)设,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商2019年的收益比2018年至少增长20%?
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【题目】某辆汽车以千米
小时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求
时,每小时的油耗(所需要的汽油量)为
升,其中
为常数,且
.
(1)若汽车以120千米小时的速度行驶时,每小时的油耗为11.5升,欲使每小时的油耗不超过9升,求
的取值范围;
(2)求该汽车行驶100千米的油耗的最小值.
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