Question

【题目】设集合，是正数，且.试求交集的元素个数的最大可能值.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

不妨设，且和都是正整数（），但等比数列，，，…，的各项不一定都是整数，则有

.

显然，（表示集合的元素个数）.下面对公比分别为有理数和无理数进行讨论.

（1）设（与互素，且）下面再对分三种情况进行讨论.

当时，由知.由得，，从而，.

当时，由知.由得，，从而.

另一方面，确实存在公比为的6项等比数列：

128，192，288，432，648，972.（如何构造的？）

当时，，.因为与互素，所以，从而.由此即得，，.

故当为有理数时，的最大可能值是6.

（2）设为无理数.由为有理数知为有理数，所以存在最小的正整数，使为有理数（显然）.设被除所得余数为，即（和为非负整数，且）.由知为有理数，再由的最小性知只能有，即.

记，则由上可知在中，只须用来代替（因为中其他的项为无理数），是公比为有理数，首项为，末项为的等比数列，这就化归为公比为有理数的情况（1）了.

综合上述即知：的最大可能值是6.

注：本题是根据加拿大第四届（1972年）奥林匹克试题第10题改编的.原题为：在公比大于1的等比数列中，最多有几项是在100和1000之间的整数？这是一个佳题.在[1]和别的资料的解答中，都事先假定了等比数列的各项都为整数，其实这样是不严密的（尽管答案是对的），这里给出的解答试图纠正这一不妥之处.