Question

【题目】已知的三顶点坐标分别为，，．

（1）求的外接圆圆M的方程；

（2）已知动点P在直线上，过点P作圆M的两条切线PE,PF，切点分别为E,F.

①记四边形PEMF的面积分别为S，求S的最小值；

②证明直线EF恒过定点.

Answer 1

【答案】(1) (2) ①4；②定点，证明见解析

【解析】

（1）设圆M的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），分别代入A，B，C三点，解方程可得a，b，r，可得所求圆M的方程；

（2）①由三角形的面积公式可得S＝|PE||EM|＝2|PE|，结合勾股定理和点到直线的距离公式，可得所求最小值；

②判断四点P，E，M，F共圆，求得以PM为直径的圆的方程和圆M方程，相减可得直线EF的方程，再由直线恒过定点的求法，可得所求定点．

（1）设的外接圆圆M的标准方程为，根据题意有

故所求的圆M的方程为

（2）①，故当最小时，S最小．

的最小值即为点到直线的距离

故

②由圆的切线性质有，则，，，，四点共圆，该圆是以PM为直径的圆，设圆心为点N．点P是直线上一动点，设，则圆N的方程为

圆M与圆N相交于点E,F

由消去，得直线EF的方程为

即，令得

故直线EF恒过定点.