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【题目】设数列的前n项和为,对任意的正整数n,都有成立,记.

(1)求数列与数列的通项公式;

(2)求证:①恒成立.恒成立,其中为数列的前n项和.

(3)记的前n项和,求证:对任意正整数n,都有.

【答案】(1);(2)①证明见解析;②证明见解析;(3)证明见解析.

【解析】

1)利用递推关系式证得数列是等比数列,由此求得数列的通项公式,进而求得数列的通项公式.

2)①利用(1)中求得的数列的通项公式,化简,由此证得.

②将分成偶数和奇数两种情况,利用分组求和法,证得恒成立.

3)化简,得到,利用放缩法证得.

(1)解:当时,,∴.

又∵

,即

∴数列成等比数列,其首项为,公比

,∴

(2)证明:①由(1)知.

注意到,所以

②当n为偶数时,设

n为奇数时,设

∴对一切的正整数n,都有

(3)证明:由(1)知

.

,∴

∴当时,

时,.

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