【题目】设数列的前n项和为
,且
,
.
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列的前n项和为
,求
;
(3)判断数列中是否存在三项成等差数列,并证明你的结论.
【答案】(1)(2)
(3)数列
中不存在三项成等差数列.见解析
【解析】
(1)利用及公式
,代入后可证明数列
为等比数列.结合求得
,即可得数列
的通项公式.
(2)先表示出数列的通项公式,再由等比数列的前n项和公式得
求得
后代入
.即可求得
的值.
(3)假设数列中是否存在三项成等差数列.设第m,n,k(
)项成等差数列,代入通项公式化简变形,构造函数
,证明
在
上的单调性,化简变形可得矛盾,从而证明数列
中不存在三项成等差数列.
(1)1°当时,
,解得
.
2°当时,
,即
.
因为,所以
,从而数列
是以2为首项,2为公比的等比数列,
所以.
(2)因为,所以
,故数列
是以4为首项,4为公比的等比数列,
从而,
而,
所以.
(3)不存在.理由如下.
假设中存在三项成等差数列,不妨设第m,n,k(
)项成等差数列,
则,即
.
因为,且m,n,
,所以
.
令(
),则
,显然
在
上是增函数,
所以,即
,
所以,
所以,其左边为负数,右边为正数,故矛盾,
所以数列中不存在三项成等差数列.
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【题目】命题:方程
表示焦点在
轴上的双曲线:命题
:若存在
,使得
成立.
(1)如果命题是真命题,求实数
的取值范围;
(2)如果“”为假命题,“
”为真命题,求实数
的取值范围.
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【题目】设数列的前n项和为
,对任意的正整数n,都有
成立,记
.
(1)求数列与数列
的通项公式;
(2)求证:①对
恒成立.②
对
恒成立,其中
为数列
的前n项和.
(3)记,
为
的前n项和,求证:对任意正整数n,都有
.
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【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为
,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx+b与椭圆C分别交于A,B两点,且OA⊥OB,试问点O到直线AB的距离是否为定值,证明你的结论.
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【题目】已知抛物线:
经过点
.
(1)求抛物线的方程及其准线方程;
(2)设为原点,过抛物线
的焦点作斜率不为0的直线
交抛物线
于两点
,
,直线
分别交直线
,
于点
和点
.求证:以
为直径的圆经过
轴上的两个定点.
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【题目】给出下列说法:①方程表示的图形是一个点;②命题“若
,则
或
”为真命题;③已知双曲线
的左右焦点分别为
,
,过右焦点
被双曲线截得的弦长为4的直线有3条;④已知椭圆
上有两点
,
,若点
是椭圆
上任意一点,且
,直线
,
的斜率分别为
,
,则
为定值
.
其中说法正确的序号是________.
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【题目】如图,某小区准备将闲置的一直角三角形地块开发成公共绿地,图中.设计时要求绿地部分(如图中阴影部分所示)有公共绿地走道
,且两边是两个关于走道
对称的三角形(
和
).现考虑方便和绿地最大化原则,要求点
与点
均不重合,
落在边
上且不与端点
重合,设
.
(1)若,求此时公共绿地的面积;
(2)为方便小区居民的行走,设计时要求的长度最短,求此时绿地公共走道
的长度.
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【题目】已知抛物线,过点
的直线与抛物线
相切,设第一象限的切点为
.
(1)求点的坐标;
(2)若过点的直线
与抛物线
相交于两点
,圆
是以线段
为直径的圆过点
,求直线
的方程.
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