【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx+b与椭圆C分别交于A,B两点,且OA⊥OB,试问点O到直线AB的距离是否为定值,证明你的结论.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
(1)根据三角形周长为8,结合椭圆的定义可知,,利用,即可求得和的值,求得椭圆方程;(2)分类讨论,当直线斜率斜存在时,联立,得到关于的一元二次方程,利用韦达定理及向量数量积的坐标运算,求得和的关系,利用点到直线的距离公式即可求得点到直线的距离是否为定值.
(1)由题意知,4a=8,则a=2,
由椭圆离心率,则b2=3.
∴椭圆C的方程;
(2)由题意,当直线AB的斜率不存在,此时可设A(x0,x0),B(x0,-x0).
又A,B两点在椭圆C上,
∴,
∴点O到直线AB的距离,
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b.设A(x1,y1),B(x2,y2)
联立方程,消去y得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0.
由已知△>0,x1+x2=,x1x2=,
由OA⊥OB,则x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=0,
整理得:(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2=0,
∴ .
∴7b2=12(k2+1),满足△>0.
∴点O到直线AB的距离为定值.
综上可知:点O到直线AB的距离d=为定值.
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【题目】在平面直角坐标系中,不等式组 (r为常数)表示的平面区域的面积为π,若x,y满足上述约束条件,则z= 的最小值为( )
A.﹣1
B.﹣
C.
D.﹣
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【题目】设A,B分别为双曲线 (a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使,求t的值及点D的坐标.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,设椭圆 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 右顶点为A,上顶点为B,离心率为e.椭圆上一点C满足:C在x轴上方,且CF1⊥x轴.
(1)若OC∥AB,求e的值;
(2)连结CF2并延长交椭圆于另一点D若 ≤e≤ ,求 的取值范围.
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【题目】已知 , ,则下列结论中正确的是( )
A.函数y=f(x)?g(x)的周期为2
B.函数y=f(x)?g(x)的最大值为1
C.将f(x)的图象向左平移 个单位后得到g(x)的图象
D.将f(x)的图象向右平移 个单位后得到g(x)的图象
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【题目】若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称点对(P,Q)是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一对“友好点对”).已知函数f(x)= ,则此函数的“友好点对”有( )
A.3对
B.2对
C.1对
D.0对
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