Question

2．已知函数f（x）=3sinωxcosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到的函数g（x）=（　　）

• A． $\sqrt{3}$cos4x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． -$\sqrt{3}$cos4x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$sin（4x+$\frac{5}{6}$π）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$sin（4x-$\frac{5}{6}$π）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．

解答 解：由于函数f（x）=3sinωxcosωx+$\sqrt{3}$cos²ωx=$\frac{3}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+cos2ωx）
=$\sqrt{3}$sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ （ω＞0）
的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，ω=2，f（x）=$\sqrt{3}$sin（4x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后，得到的函数g（x）=$\sqrt{3}$sin[4（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 
=$\sqrt{3}$sin（4x+$\frac{5π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：C．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．