Question

设首项为a₁，公差为d的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₅=11，S₁₀=120
（1）求a₁和d；
（2）若数列{b_n}满足于

n

b1+2b2+22b3+…+2n-1bn

=

1

an

，求数列{b_n}的通项公式及前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用递推式可得b_n，再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵首项为a₁，公差为d的等差数列{a_n}满足a₅=11，S₁₀=120；
∴

a1+4d=11 10a1+ 10×9 2 d=120

，解得

a1=3 d=2

，
（2）由（1）可得a_n=3+2（n-1）=2n+1．
∵数列{b_n}满足于

n

b1+2b2+22b3+…+2n-1bn

=

1

an

，
∴b1+2b2+22b3+…+2^n-1b_n=na_n=n（2n+1），
当n≥2时，b1+2b2+22b3+…+2^n-2b_n-1=（n-1）（2n-1），
∴2^n-1b_n=4n-1．
∴bn=

4n-1

2n-1

．n=1时也成立．
∴bn=

4n-1

2n-1

．
∴T_n=3+

7

2

+

11

22

+…+

4n-1

2n-1

，
∴

1

2

Tn=

3

2

+

7

22

+…+

4n-5

2n-1

+

4n-1

2n

，
∴

1

2

Tn=3+4(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

4n-1

2n

=3+4×

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

4n-1

2n

=3+4-

4n+7

2n

．
∴T_n=14-

4n+7

2n-1

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．