Question

设数列{a_n}的首项a1=

5

3

，an+1=

2

3

+

1

3

an（n∈N₊）
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列；
（2）记S_n=a₁+a₂+a₃+┉+a_n，求S_n的值．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

2

3

+

1

3

an，可得a_n+1-1=

1

3

（a_n+1），即可证明数列{a_n-1}为等比数列；
（2）利用等比数列的求和公式，即可求S_n的值．

解答：（1）证明：∵an+1=

2

3

+

1

3

an，
∴a_n+1-1=

1

3

（a_n+1），
∵a₁-1=

2

3

，
∴数列{a_n-1}是首项

2

3

，公比为

1

3

的等比数列┉┉┉┉┉┉（6分）
（2）解：∵a_n=

2

3

×(

1

3

)n-1+1
∴S_n=a₁+a₂+a₃+┉+a_n
=

2

3

×[1+

1

3

+(

1

3

)2+…+(

1

3

)n-1]+n=1+n-(

1

3

)n┉┉┉（12分）

点评：本题考查等比数列的证明与求和，考查学生的计算能力，正确变形是关键．