Question

如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ) 若点是的中点，求证：平面；

（II）若点为线段的中点，求二面角的正切值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）证明：设，交于点，连接，易知为的中位线，

故，又平面，平面，得平面．

（Ⅱ）解：过做交于，过作交于,

由已知可知平面，，且,

过作交于,连接,由三垂线定理可知：为所求角

如图，平面,,由三垂线定理可知，

在中，斜边，，得,

在中，,得,由等面积原理得，B到CE边的高为

则;  在中，,则，

故：

法2建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,;,

（I）设平面的法向量为，

则即；推出即, 平面。

（II）,故

【解析】

试题分析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,;,

（I）设平面的法向量为，

则即；即

令，则；又,故即,而平面所以平面。

（II）设平面的法向量为，,

则即；即

令，则；由题可知平面的法向量为

故,故

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、角计算。

点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。