Question

(理)如图,在四棱锥P—ABCD中,侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直,底面ABCD是矩形,E是AB的中点,PC与平面ABCD所成的角为30°.

(1)若平面PAB∩平面PCD=l,试判断直线l与平面ABCD的关系,并加以证明;

(2)求平面PAB与平面PCD所成二面角的大小;

(3)当AD为多长时,点D到平面PCE的距离为2?

(文)在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中,BB₁=2AB=4,E、F分别是棱AB与BC的中点.

(1)求二面角EFB₁B的平面角的正切值.

(2)在棱DD₁上能否找到一点M,使BM⊥平面B₁EF?若能,试确定M的位置;若不能,请说明理由.

Answer 1

解：(理)(1)l与面ABCD平行.证明:∵DC∥AB,DC面PAB,∴DC∥面PAB.∵DC面PDC,面PAB∩面PCD=l,∴l∥DC.又l面ABCD,DC面ABCD,∴l∥面ABCD.

(2)由(1),可知面PAB∩面PCD=l.∵面PAD⊥面ABCD,ABCD为矩形,∴AB⊥面PAD.∵l∥DC∥AB,∴l⊥面PAD.∴l⊥AD.同理,l⊥AP.∴∠PAD为面PAB与面PDC所成二面角的平面角.∵△PAD是正三角形,∴面PAB与面PDC所成二面角大小为60°.

(3)设AD的中点为F,且AD=a,则PF⊥AD.∴∠PCF=30°.∴PF=a.∴CF=a,CD=a.

由V_D—PEC=V_P—DEC,得S_△DEC·PF=S_△PEC·2.∴·a·a·=2·S_△PEC,①

易求PE=EC=a,PC=a.∴S_△PCE=|PC|.②

由①②,得a=.

(文)(1)过B点作BG⊥B₁F,垂足为G点,连结EG.∵EB⊥面BB₁C₁C,根据三垂线定理,知∠EGB即为所求二面角的平面角.

EB=AB=1,BG=.∴tan∠EGB=,二面角EFB₁B的平面角的正切值为.

(2)设存在M点.

EF∩DB=H.已知BD=,BH=.∵EF⊥面BB₁D₁D,∴EF⊥B₁H,EF⊥BM.在如图所示的截面中,BM⊥B₁H,

∴tanθ=.∴DM=,即存在点M,且D₁M=或DM=.