Question

（09年临沭县模块考试理）（12分）

       如图，在四棱锥S―ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，SA⊥底面

       ABCD，SA=2，M 的为SA的中点，N在线段BC上。

   （Ⅰ）当为何值时，MN∥平面SCD；（说明理由）。

   （Ⅱ）求MD和平面SCD所成角的正弦值。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）法一：当=时，MN∥平面SCD。                     ????????????????1分

       证明如下：取SB中点E，连线ME，NE                                   ????????????????2分

       则ME∥AB，又∵AB∥CD

       ∴ME∥CD                                                                               ????????????????3分

       又∵NE∥SC                                                                            ????????????????4分

       ∵ME∩NE=E

       ∴平面MNE∥平面SCD                                                           ????????????????5分

       又MN平面MNE

       ∴MN∥平面SCD                                                                     ????????????????6分

       法二：作AP⊥CD于点P（如图），分别以AB、AP、AS所在直线为x、y、z轴建立空间

       坐标系。

      

A（0，0，0），B（1，0，0），

       P（0，，0），D（，，0），

       S（0，0，2），M（0，0，1），

       C（1，，0），

       设

       ∴（，，0）

       =                                                            ?????????????????3分

                                       ?????????????????4分

       设平面SCD的法向量为，则

      

      

       取，得                                                  ?????????????????5分

       ∵

       ∴=，即N为BC中点时，MN∥平面SCD                      ?????????????????6分

   （Ⅱ）∵                                              ?????????????????7分

       又∵平面SCD的法向量为                                  ?????????????????9分

       ∴                                              ????????????????10分

       ==                                                          ????????????????11分

       ∴MD和平面SCD所成角的正弦值为 ?????????????????12分