Question

（2011•成都模拟）已知向量

m

=（sin2x，cos2x），

n

=（cos

π

4

，sin

π

4

），函数f（x）=

2

m

•

n

+2a（其中a为实常数）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，函数f（x）的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

分析：（I）由题意可得f（x）=

2

m

•

n

+2a=

2

（sin2xcos

π

4

+cos2xsin

π

4

）+2a=

2

sin(2x+

π

4

)+ 2a，利用周期公式可求T
（II）由x得范围可求2x+

π

4

的范围，结合正弦函数的性质可求sin（2x+

π

4

）的范围，从而可求函数的最值，即可

解答：解：（I）f（x）=

2

m

•

n

+2a=

2

（sin2xcos

π

4

+cos2xsin

π

4

）+2a
=

2

sin(2x+

π

4

)+ 2a（4分）
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

= π（6分）
（II）∵0≤x≤

π

2

∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

∴-

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1（10分）
∴f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+2a的最小值是

2

×(-

2

2

)+2a=2a-1
∴2a-1=-2
∴a=-

1

2

（12分）

点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，三角函数的辅助角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数性质中应用，属于 知识的简单综合．