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已知椭圆C:的离心率等于,点P在椭圆上。

(1)求椭圆的方程;

(2)设椭圆的左右顶点分别为,过点的动直线与椭圆相交于两点,是否存在定直线,使得的交点总在直线上?若存在,求出一个满足条件的值;若不存在,说明理由.

 

【答案】

(1);(2)存在,.

【解析】

试题分析:(1)由,点代入椭圆方程,二者联立可以解出;(2)以的存在性分两种情况:①不存在,直线:,易证符合题意;②存在时,设直线:,用直线方程和椭圆方程联立方程组,消参得一元二次方程,利用韦达定理得,,又因为共线,有,由,得出,由于成立,所以点在直线上,综上:存在定直线:,使得的交点总在直线上,的值是.

试题解析:(1)由,               2分

又点在椭圆上,,               4分

所以椭圆方程是:;                       5分

(2)当垂直轴时,,则的方程是:

的方程是:,交点的坐标是:,猜测:存在常数,

即直线的方程是:使得的交点总在直线上,         6分

证明:设的方程是,点

的方程代入椭圆的方程得到:

即:,                  7分

从而:,                 8分

因为:共线

所以:,                  9分

要证明共线,即要证明,            10分

即证明:

即:

即:

因为:成立,       12分

所以点在直线上。

综上:存在定直线:,使得的交点总在直线上,的值是.  13分

考点:1.椭圆的离心率;2.韦达定理;3.分类讨论法解题.

 

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