Question

设z是虚数，w=z+是实数，且-1＜w＜2._____________.(先在横线上填上一个结论，然后再解答)

Answer 1

构建问题：设z是虚数，w=z+是实数，且-1＜w＜2.

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;

(2)设u=，求证：u为纯虚数;

(3)求w-u²的最小值.

解析：(1)设z=a+bi(a、b∈R,且b≠0)，

则w=a+bi+i.

∵w是实数，b≠0，

∴a²+b²=1,

即|z|=1.

∴w=2a,-1＜w=2a＜2,-＜a＜1,

∴z的实部的取值范围是(-,1).

(2)u==i,

∵a∈(-,1),b≠0,

∴u为纯虚数.

(3)w-u²=2a+=2a+=2a-=2a-1+

=2［(a+1)+］-3.

∵a∈(-,1),

∴a+1＞0.

故w-u²≥2×2-3=4-3=1,

当a+1=,即a=0时，w-u²取得最小值1.