Question

设z是虚数，w=z+是实数，且-1＜w＜2.

（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；

（2）设u=，求证：u为纯虚数；

（3）求w-u²的最小值.

Answer 1

（1）解:设z=a+bi(a、b∈R，且b≠0），?

则w=z+=a+bi+=（)+()i.?

∵w是实数，∴b-=0.?

由b≠0，得a²+b²=1,即|z|=1.?

∵|z|=1,∴z·=|z|²=1.∴w=z+=z+=2a.?

由已知-1＜w＜2，即-1＜2a＜2，解得-＜a＜1.

（2）证明：u+=+=+=0，?

∵z≠1（否则w=2矛盾），?

∴u≠0.?

从而u为纯虚数.

（3）解：u==,?

w-u²=2a-()²=2a--?

=2a-=?

=2(1+a)+ -3.?

∵-＜a＜1,∴＜1+a＜2.?

∴4≤2(1+a)+＜5.?

∴w-u²的最小值为4.

点评:一个复数是实数的条件是共轭复数是其本身；一个复数为纯虚数的条件是与其共轭复数的和为零，本题通过设复数z=a+bi(a、b∈R）将复数问题转化为实数问题解决.