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    某设计部门承接一产品包装盒的设计（如图所示），客户除了要求AB、BE边的长分别为20cm和30cm外，还特别要求包装盒必需满足：①平面ADE⊥平面ADC；②平面ADE与平面ABC所成的二面角不小于60°；③包装盒的体积尽可能大．若设计部门设计出的样品满足：∠ACB与∠ACD均为直角且AB长20cm，矩形DCBE的一边长为30cm，请你判断该包装盒的设计是否能符合客户的要求？说明理由．
    分析：该包装盒的样品设计符合客户的要求，先证明满足条件①的要求，根据已知条件可证DE⊥面ADC，从而证得面ADE⊥面ADC，再证明满足条件②、③的要求，根据矩形DCBE的一边长为30cm，而直角三角形ABC的斜边AB长为20cm，则BE=30，设BC=t，则AC=
    		400-t2
    ，以C为原点，CA、CB、CD分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系C-xyz，求出面ADE的一个法向量为n1，而面ABC的一个法向量为n2=（0，0，1），设面ADE与面ABC所成的二面角为θ，则cosθ≤
    1
    2
    ，求出t的范围确保面ADE与面ABC所成的二面角不小于60°，然后表示四棱锥A-BCDE的体积，利用基本不等式求出取最值时的t，看是否满足条件即可．
    解答：解：该包装盒的样品设计符合客户的要求．
    以下证明满足条件①的要求．
    ∵四边形DCBE为矩形，∠ACB与∠ACD均为直角，
    ∴CB⊥AC且CB⊥DC∴CB⊥面ADC，
    在矩形DCBE中，DE∥CB
    ∴DE⊥面ADC∴面ADE⊥面ADC…（3分）
    以下证明满足条件②、③的要求．
    ∵矩形DCBE的一边长为30cm，
    而直角三角形ABC的斜边AB长为20cm，∴BE=30
    设BC=t，则AC=
    		400-t2
    ，
    以C为原点，CA、CB、CD分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系C-xyz，
    则A(
    		400-t2
    ，0，0)    ，B（0，t，0），D（0，0，30），E（0，t，30），
    设面ADE的一个法向量为n1=（x，y，z），
    DA
    =(
    		400-t2
    ，0，-30)    ，
    DE
    =(0，t，0)
    ∵n1•
    DA
    =0且n1•
    DE
    =0
    ∴
    		400-t2
    x-30z=0
    ty=0
    ，取x=1，则n1=(1，0，
    		400-t2
    30
    )    …（6分）
    而面ABC的一个法向量为n2=（0，0，1），
    设面ADE与面ABC所成的二面角为θ，则cosθ≤
    1
    2
    ，
    ∴cosθ=|cos＜n1，n2＞|=
    		400-t2
    30
    		1+
    400-t2
    900
    •1
    ≤
    1
    2
    ，∴t≥10，
    即当t≥10时，面ADE与面ABC所成的二面角不小于60°．…（8分）
    又，由∠ACB与∠ACD均为直角知，AC⊥面DCBE，该包装盒可视为四棱锥A-BCDE，
    ∴VA-BCDE=
    1
    3
    SBCDE•AC=
    1
    3
    •30t•
    		400-t2
    =10
    		t2(400-t2)
    ≤10
    		(
    t2+400-t2
    2
    )    2
    =2000

    当且仅当t2=400-t2，即t=10
    		2
    cm    时，VA-BCDE的体积最大，最大值为2000cm3．…（12分）
    而t=10
    		2
    ＞10    ，可以满足面ADE与面ABC所成的二面角不小于60°的要求，
    综上，该包装盒的设计符合客户的要求．            …（13分）
    点评：本题主要考查了面面垂直的判定，以及用空间向量求平面间的夹角和利用基本不等式求体积的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．
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    ①平面ADE⊥平面ADC；

    ②平面ADE与平面ABC所成的二面角不小于60°；

    ③包装盒的体积尽可能大．

    现在设计部门设计出的样品满足：∠ACB与∠ACD均为直角且AB长20 cm，矩形DCBE的一边长为30 cm，请你判断该包装盒的设计是否能符合客户的要求？说明理由．

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