Question

如图，P是抛物线C：y=

1

2

x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．
（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设M（x₀，y₀），欲求点M的轨迹方程，即寻找其坐标的关系，可通过另外两点P，Q与中点M的关系结合中点坐标公式求解，
（2）欲

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范围，可转化为将其表示成某变量的表达式，然后再求此表达式的最值问题，另外，为了化简比例式，一般将线段投影到坐标轴上的线段解决．

解答：解：（Ⅰ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₀，y₀），依题意x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0．
由y=

1

2

x²，①
得y'=x．
∴过点P的切线的斜率k=x₁，
∴直线l的斜率k_l=-

1

k

=-

1

x1

，
∴直线l的方程为y-

1

2

x₁²=-

1

x1

（x-x₁），②
联立①②消去y，得x²+

2

x1

x-x₁²-2=0．
∵M是PQ的中点
∴x₀=

x1+x2

2

=-

1

x1

，y₀=

1

2

x₁²-

1

x1

（x₀-x₁）
消去x₁，得y₀=x₀²+

1

2  x 2 0

+1（x₀≠0），
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²+

1

2 x 2 0

+1（x≠0）．

（Ⅱ）设直线l：y=kx+b，依题意k≠0，b≠0，则T（0，b）．
分别过P、Q作PP'⊥x轴，QQ'⊥y轴，垂足分别为P'、Q'，则

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=

|OT|

|P′P|

+

|OT|

|Q′Q|

=

|b|

|y1|

+

|b|

|y2|

．
由y=

1

2

x²，y=kx+b消去x，得y²-2（k²+b）y+b²=0．③
则y₁+y₂=2（k²+b），y₁y₂=b²．
∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=|b|（

1

y1

+

1

y2

）≥2|b|

1 y1y2

=2|b|

1 b2

=2．
∵y₁、y₂可取一切不相等的正数，
∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范围是（2，+∞）．

点评：本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力．