Question

如图，P是抛物线C：y=

1

2

x²上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q．若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：欲求PQ中点M的轨迹方程，需知P、Q的坐标．思路一，P、Q是直线l与抛物线C的交点，故需求直线l的方程，再与抛物线C的方程联立，利用韦达定理、中点坐标公式可求得M的轨迹方程；思路二，设出P、Q的坐标，利用P、Q的坐标满足抛物线C的方程，代入抛物线C的方程相减得PQ的斜率，利用PQ的斜率就是l的斜率，可求得M的轨迹方程．

解答：解：设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、M（x₀，y₀），依题意知x₁≠0，y₁＞0，y₂＞0．
由y=

1

2

x²，①
得y′=x．
∴过点P的切线的斜率k_切=x₁，∴直线l的斜率k_l=-

1

k切

=-

1

x1

，
直线l的方程为y-

1

2

x₁²=-

1

x1

（x-x₁）．②
方法一：联立①②消去y，得x²+

2

x1

x-x₁²-2=0．
∵M为PQ的中点，
∴x₀=

x1+x2

2

=-

1

x1

，y₀=

1

2

x₁²-

1

x1

（x₀-x₁）．消去x₁，得y₀=x₀²+

1

2x02

+1（x₀≠0），
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²+

1

2x2

+1（x≠0）．
方法二：由y₁=

1

2

x₁²，y₂=

1

2

x₂²，x₀=

x1+x2

2

，
得y₁-y₂=

1

2

x₁²-

1

2

x₂²=

1

2

（x₁+x₂）（x₁-x₂）=x₀（x₁-x₂），则x₀=

y1-y2

x1-x2

=k_l=-

1

x1

，
∴x₁=-

1

x0

．
将上式代入②并整理，得y₀=x₀²+

1

2x02

+1（x₀≠0），
∴PQ中点M的轨迹方程为y=x²+

1

2x2

+1（x≠0）．

点评：本题考查抛物线的应用，及轨迹方程的求法，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，中点坐标公式进行求解．