Question

已知椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4．

（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）设直线l：x＝ky＋m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）时，取得最大值为.

【解析】(1)由题意可知2a+2c和e的值，所以可以求出a,b,c进而确定椭圆方程.

（2）以AB为直径的圆过右顶点C，实质是,然后用坐标表示出来，再通过直线l的方程与椭圆方程联立，借助韦达定理和判断式把△ABC面积表示成关于k的函数，然后利用函数的方法求最值.

（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，∴， 又椭圆的离心率为，即，所以，

∴，.  ………… 3分∴，椭圆的方程为.……4分

（Ⅱ）由直线的方程.联立 消去得，………… 5分     

设，，则有，. ① ……… 6分

因为以为直径的圆过点，所以 .由 ，得 .…………… 7分

将代入上式，得 .

将 ① 代入上式，解得 或（舍）. ……… 8分

所以,记直线与轴交点为，则点坐标为，

所以

设，则.

所以当时，取得最大值为