Question

已知椭圆M：（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4，椭圆的离心率，建立方程，利用b²=a²-c²，可求椭圆M的方程；
（Ⅱ）由直线与椭圆方程联立，消元，由以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），可得 ，结合数量积公式及韦达定理，即可求m的值．
解答：解：（Ⅰ）由题意，可得 ，即，…（1分）
又椭圆的离心率为，即，…（2分）
所以a=3，，
所以b²=a²-c²=1，…（3分）
所以椭圆M的方程为．…（4分）
（Ⅱ）由消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0．…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），有，．①…（6分）
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），所以 ．…（7分）
由 ，，得 （x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．…（8分）
将x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 ，…（10分）
将 ①代入上式得
解得 ，或m=3．…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．