【题目】如图所示,在四棱锥中,底面
是菱形,
,
与
交于点
,
底面
,
为
的中点,
.
(1)求证: 平面
;
(2)求异面直线与
所成角的余弦值;
(3)求与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解;(2);(3)
【解析】
(1)连接OF,可得OF为的中位线,OF∥DE,可得证明;
(2)连接C点与AD中点为x轴,CB为y轴,CE为z轴建立空间直角坐标系,可得,
的值,可得异面直线
与
所成角的余弦值;
(3)可得平面EBD的一个法向量为,可得
与平面
所成角的正弦值.
解:(1)
如图,连接OF,因为底面是菱形,
与
交于点
,
可得O点为BD的中点,又为
的中点,所以OF为
的中位线,
可得OF∥DE,又,DE不在平面ACF内,
可得 平面
;
(2)如图连接C点与AD中点位x轴,CB为y轴,CE为z轴建立空间直角坐标系,
设菱形的边长为2,可得CE=2,
可得E(0,0,2),O(,
,0),A(
,1,0),F(0,1,1),
可得:,
,设异面直线
与
所成角为
,
可得,
(3)可得D (,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),
可得,
,设平面EBD的一个法向量为
,
可得,
,可得
的值可为
,由
可得与平面
所成角的正弦值为
=
.
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【题目】某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务,要求是:任务必须排在前三项执行,且执行任务
之后需立即执行任务
,任务
、
相邻,则不同的执行方案共有______种.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
的上顶点为A,左、右焦点分别为
,
,直线
的斜率为
,点
在椭圆E上,其中P是椭圆上一动点,Q点坐标为
.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)作直线l与x轴垂直,交椭圆于两点(
两点均不与P点重合),直线
,
与x轴分别交于点
.求
的最小值及取得最小值时点P的坐标.
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【题目】已知抛物线经过点
,过
作倾斜角互补的两条不同直线
、
.
(1)求抛物线的方程及准线方程;
(2)设直线、
分别交抛物线
于
、
两点(均不与
重合,如图),记直线
的斜率为正数
,若以线段
为直径的圆与抛物线的准线相切,求
的值.
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【题目】已知,
,若动点
满足:
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)若点,
分别位于
轴与
轴的正半轴上,直线
与曲线
相交于
,
两点,且
,请问在曲线
上是否存在点
,使得四边形
(
为坐标原点)为平行四边形?若存在,求出直线
的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,
,该椭圆与
轴正半轴交于点
,且
是边长为
的等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点任作一直线交椭圆于
,
两点,平面上有一动点
,设直线
,
,
的斜率分别为
,
,
,且满足
,求动点
的轨迹方程.
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【题目】已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;
(2)若M(m,n),求的最大值和最小值
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【题目】已知椭圆:
的上下两个焦点分别为
,
,过点
与
轴垂直的直线交椭圆
于
、
两点,
的面积为
,椭圆
的离心力为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知为坐标原点,直线
:
与
轴交于点
,与椭圆
交于
,
两个不同的点,若存在实数
,使得
,求
的取值范围.
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