Question

已知O为△ABC所在平面内一点，满足|

OA

|²+|

BC

|²=|

OB

|²+|

CA

|²=|

OC

|²+|

AB

|²，则点O是△ABC的

 

 心．

Answer 1

分析：根据向量的减法分别用

OA

，

OB

，

OC

表示

BC

，

CA

，

AB

，利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出OC⊥AB，同理可得OB⊥AC，OA⊥BC，即证出O是△ABC的垂心．

解答：解：设

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，则

BC

=

c

-

b

，

CA

=

a

-

c

，

AB

=

b

- 

a

．
由题可知，|

OA

|2+|

BC

|2=|

OB

|2+|

CA

|2=|

OC

|2+|

AB

|2，
∴|

a

|²+|

c

-

b

|²=|

b

|²+|

a

-

c

|²，化简可得

c

•

b

=

a

•

c

，即（

b

-

a

）•

c

=0，
∴

OC

•

AB

=0，∴

AB

⊥

OC

，即OC⊥AB．
同理可得OB⊥AC，OA⊥BC．
∴O是△ABC的垂心．
故答案为：垂．

点评：本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，特别证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明．