Question

根据函数单调性的定义，判断f(x)=

ax

x2+1

（a≠0）在[1，+∞）上的单调性并给出证明．

Answer 1

分析：首先，根据函数单调性的判断方法，在定义域内取x₁，x₂，且1≤x₁＜x₂，然后判断f（x₁）-f（x₂）的正负，若f（x₁）-f（x₂）＞0，则函数是减函数；若f（x₁）-f（x₂）＜0，则函数在定义域上是增函数．

解答：解：在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且1≤x₁＜x₂，（2分）
则f(x1)-f(x2)=

ax1

x 2 1 +1

-

ax2

x 2 2 +1

=a

(x1-x2)(1-x1x2)

( x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

（6分）
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，且1-x₁x₂＜0．（8分）
（1）当a＞0时，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f(x)=

ax

x2+1

是[1，+∞）上的减函数；（10分）
（2）当a＜0时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f(x)=

ax

x2+1

是[1，+∞）上的增函数；（12分）

点评：本题是跟据函数单调性的定义判断函数的单调性．