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    已知函数f(x)=log2
    x1-x
    ．
    （Ⅰ）求函数的定义域；
    （Ⅱ）根据函数单调性的定义，证明函数f（x）是增函数．
    分析：（Ⅰ）由 
    x
    1-x
    ＞0    得 x（1-x）＞0，由此解得x的范围，即为函数的定义域．
    （Ⅱ）证明：任取x1、x2∈（0，1）且x1＜x2，化简f（x1）-f（x2）=log2(
    x1
    x2
    •
    1-x2
    1-x1
    )    ＜0，从而可得f（x1）＜f（x2），从而得到函数f（x）是增函数．
    解答：（Ⅰ）解：由 
    x
    1-x
    ＞0    得 x（1-x）＞0，解得 0＜x＜1，∴函数的定义域为 （0，1）．
    （Ⅱ）证明：任取x1、x2∈（0，1）且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=log2
    x1
    1-x1
    -log2
    x2
    1-x2

    =log2(
    x1
    1-x1
    •
    1-x2
    x2
    )=log2(
    x1
    x2
    •
    1-x2
    1-x1
    )    ．
    ∵0＜x1＜x2＜1，∴0＜1-x2＜1-x1＜1，∴0＜
    x1
    x2
    ＜1    且  0＜
    1-x2
    1-x1
    ＜1    ，
    即  0＜
    x1
    x2
    •
    1-x2
    1-x1
    ＜1    ，
    ∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
    故函数f（x）是增函数．
    点评：本题主要考查求函数的定义域的方法，函数的单调性的定义和证明，属于基础题．
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    1
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    x3-
    3
    2
    ax2-(a-3)x+b
    （1）若函数f（x）在P（0，f（0））的切线方程为y=5x+1，求实数a，b的值：
    （2）当a＜3时，令g(x)=
    f′(x)
    x
    ，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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    已知函数f(x)=
    1
    2
    x2-alnx    的图象在点P（2，f（2））处的切线方程为l：y=x+b
    （1）求出函数y=f（x）的表达式和切线l的方程；
    （2）当x∈[
    1
    e
    ，e]    时（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．

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    已知函数f(x)=lnx，g(x)=
    12
    x2+a    （a为常数），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
    （1）求直线l的方程及a的值；
    （2）当k＞0时，试讨论方程f（1+x2）-g（x）=k的解的个数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    13
    x3+x2+ax    ．
    （1）讨论f（x）的单调性；
    （2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=x3-
    32
    ax2+b    ，a，b为实数，x∈R，a∈R．
    （1）当1＜a＜2时，若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
    （2）在（1）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
    （3）试讨论函数F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的极值点的个数．

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