Question

（2012•江西模拟）已知实数a≠0，给出下列命题：
①函数f(x)=asin(2x+

π

3

)的图象关于直线x=

π

3

对称；
②函数f(x)=asin(2x+

π

3

)的图象可由g（x）=asin2x的图象向左平移

π

6

个单位而得到；
③把函数h(x)=asin(x+

π

3

)的图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

倍，可以得到函数f(x)=asin(2x+

π

3

）的图象；
④若函数f(x)=asin(2x+

π

3

+?)(x∈R）为偶函数，则?=kπ+

π

6

(k∈Z)．
其中正确命题的序号有

②③④

；（把你认为正确的命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：根据正弦曲线对称轴的公式，可得直线x=

π

3

不是函数图象的对称轴，故①不正确；根据函数图象平移的公式，可得②正确；根据函数y=Asin（ωx+φ）图象的变换公式，得到③正确；根据正余弦函数的奇偶性，结合诱导公式，可得④正确．

解答：解：对于①，因为x=

π

3

时，f(x)=asin(2x+

π

3

)的值是0，不是最值，故直线x=

π

3

不是函数图象的对称轴，故①不正确；
对于②，根据函数图象平移的公式，可得g（x）=asin2x的图象向左平移

π

6

个单位得到g（x+

π

6

）=asin(2x+

π

3

)，所以f(x)=asin(2x+

π

3

)可由g（x）=asin2x的图象向左平移

π

6

个单位而得到，故②正确；
对于③，根据函数y=Asin（ωx+φ）图象的变换公式，得函数h(x)=asin(x+

π

3

)的图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

1

2

倍，得到函数f(x)=asin(2x+

π

3

）的图象，故③正确；
对于④，若函数f(x)=asin(2x+

π

3

+?)(x∈R）为偶函数，则f（x）可以化简为acos2x或-acos2x，因此

π

3

+∅=

π

2

+kπ，解之得?=kπ+

π

6

(k∈Z)，故④正确．
故答案为：②③④

点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、正弦函数的奇偶性和函数图象平移规律等概念，属于基础题．