Question

9．在△ABC中角A、B、C的对边别是a，b，c，（2b-c）cosA=acosC，c=2$\sqrt{3}$，若b∈[1，3]，则a的最小值为3．

Answer 1

分析 利用正弦定理化简已知的等式，再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0，得到cosA的值，利用余弦定理即可求得a²=（b-$\sqrt{3}$）²+9，结合b的范围即可得解．

解答 解：将（2b-c）cosA=acosC代入正弦定理得：（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，
即2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin（A+C）=sinB，
由B∈（0，180°），得到sinB≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$，
因为c=2$\sqrt{3}$，
所以由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+12-2$\sqrt{3}$b=（b-$\sqrt{3}$）²+9，
因为：b∈[1，3]，
所以当b=$\sqrt{3}$时，a的最小值为：3．
故答案为：3．

点评 此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，灵活运用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简求值，属于中档题．