Question

下列命题：
p：函数f（x）=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
q：已知向量

a

=（λ，1），

b

=（-1，λ²），

c

=（-1，1），则（

a

+

b

）∥

c

的充要条件是λ=-1；
r：若

∫

a 1

1

x

dx=1（a＞1），则a=e．
其中所有的真命题是（　　）

Answer 1

分析：化简f（x）=sin⁴x-cos⁴x后求周期，判断出命题p为真命题；由(

a

+

b

)∥

c

建立λ的方程求解λ；由

∫

a 1

1

x

dx=1建立关于a的方程，求出a的值再判断．

解答：解：命题P：f（x）=sin⁴x-cos⁴x
=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=sin²x-cos²x=-cos2x，
所以函数f（x）为π，故命题P为真命题；
命题q：

a

+

b

=（λ-1，λ²+1），
由(

a

+

b

)∥

c

得，-（λ²+1）+（λ-1）=0，解得λ=0或λ=-1，
故命题q为假命题；
命题r：由

∫

a 1

1

x

dx=1得，lna-ln1=1，解得a=e，所以命题r是真命题．
故选D．

点评：本题主要以判断命题的真假为背景，考查了简单三角变换公式、正弦函数的周期、两向量的加法运算、两个向量共线的充要条件、定积分计算、方程思想的综合应用．