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已知数列{an} 是公差为d(d≠0)的等差数列,Sn为其前n项和.
(1)若a2,a3,a6依次成等比数列,求其公比q;
(2)若
OPn
=(n,
Sn
n
)(n∈N*)
,求证:对任意的m,n∈N*,向量
PmPn
与向量
b
=(2,d)
共线;
(3)若a1=1,d=
1
2
OQn
=(
an
n
Sn
n2
)(n∈N*)
,问是否存在一个半径最小的圆,使得对任意的n∈N*,点Qn都在这个圆内或圆周上.
分析:(1)利用a2,a3,a6依次成等比数列,结合数列{an} 是公差为d(d≠0)的等差数列求出公差,然后求出公比.
(2)通过Sn为其前n项和,求出
OPn
=(n,
Sn
n
)(n∈N*)
推出
pmpn
(n-m)
2
b
,说明向量
PmPn
与向量
b
=(2,d)
共线;
(3)求出an,Sn.利用向量计算|
OQn
| 2≤2
,推出|
OQn
|≤
2
,说明存在半径最小的圆,最小半径为
2
,使得对任意的n∈N*,点Qn都在这个圆内或圆周上.
解答:解:(1)因为a2,a3,a6成等比数列,所以a32=a2-a6,(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d).
d=-2a1,q=
a3
a2
=3

(2)因为
pmpn
=
opn
-
opm
=(n,
Sn
n
) -(m,
Sm
m
)
=(n-m,
Sn
n
-
Sm
m
)
,而
Sn
n
-
Sm
m
=[a1+
(n-1)d
2
]-[a1+
(m-1)d
2
]=
(n-m)d
2

所以
pmpn
= (n-m,
(n-m)d
2
)
=
(n-m)
2
(2,d)
=
(n-m)
2
b
,所以向量
PmPn
与向量
b
=(2,d)
共线.
(3)因为a1=1,d=
1
2
,所以an=1+(n-1)
1
2
=
1
2
n+
1
2
,Sn=
n2
4
+
3
4
n

|
OQn|
 2= (
an
n
) 2+(
Sn
n2
) 2
=
[
1
2
(n+1)]
2
n2
+
1
16
(n2+3n )2
n4
=
1
16
(
13
n2
+
14
n
+5)

=
13
16
(
1
n
+
7
13
2
+
1
13

因为n≥1,所以0
1
n
≤1
.∴
13
16
(
1
n
+
7
13
)
2
+
1
13
≤2
,当n=1时取等号.
所以|
OQn
| 2≤2
,即|
OQn
|≤
2
所以存在半径最小的圆,最小半径为
2
,使得对任意的n∈N*,点Qn都在这个圆内或圆周上.
点评:此题考查了等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式,以及等差数列的确定方法.要求学生熟练掌握等差及等比数列的通项公式,以及二次函数的最值的应用.
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S30S10
=
6
6

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.
a1a4
a2a5
.
=
 

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