Question

4．某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该几何体的体积是$\frac{1}{3}$，则它的表面积是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $2\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图所示，该几何体是正方体的内接正三棱锥，求出三棱锥的棱长，利用面积公式可得几何体的表面积．

解答 解：如图所示，该几何体是正方体的内接正三棱锥．
设正方体的棱长为a，则几何体的体积是${a}^{3}-4×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}{a}^{3}$=$\frac{1}{3}{a}^{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴a=1，
∴三棱锥的棱长为$\sqrt{2}$，
因此此几何体的表面积S=4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2=2$\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题考查了正方体的内接正三棱锥表面积计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．