Question

14．已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点．AO、BO的延长线与直线x=-4分别交于P、Q两点．
（Ⅰ）求动点M的轨迹方程；
（Ⅱ）连接OM，求△OPQ与△BOM的面积比．

Answer 1

分析 （1）先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设出过焦点弦的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂，进而根据直线方程求得y₁+y₂，进而求得焦点弦的中点的坐标的表达式，消去参数k，则焦点弦的中点轨迹方程可得．
（2）求出P，Q的坐标，可得面积，即可求△OPQ与△BOM的面积比．

解答 解：（Ⅰ）设A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题知抛物线焦点为（1，0）
设焦点弦方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程得所以k²x²-（2k²+4）x+k²=0
由韦达定理：x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$
所以中点M横坐标：x=1+$\frac{2}{{k}^{2}}$
代入直线方程，中点M纵坐标：y=k（x-1）=$\frac{2}{k}$．即中点M为（1+$\frac{2}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$）
消参数k，得其方程为：y²=2x-2，
当线段PQ的斜率不存在时，线段PQ中点为焦点F（1，0），满足此式，
故动点M的轨迹方程为：y²=2x-2…（6分）
（Ⅱ）设AB：ky=x-1，代入y²=4x，得y²-4ky-4=0，
y₁+y₂=4k，y₁•y₂=-4，
联立，得P（-4，-$\frac{16}{{y}_{1}}$），同理Q（-4，-$\frac{16}{{y}_{2}}$），…（9分）
|PQ|=4|y₁-y₂|，
∴S_△OPQ=8|y₁-y₂|，
又∵S_△OMB=$\frac{1}{4}$|y₁-y₂|，故△OPQ与△BOM的面积比为32．…（12分）

点评 本题主要考查了抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．