Question

6．已知定义在R上的函数满足f（x）+2f′（x）＞0恒成立，且f（2）=$\frac{1}{e}$（e为自然对数的底数），则不等式e^x•f（x）-e${\;}^{\frac{x}{2}}$＞0的解集为（2，+∞）．

Answer 1

分析 令F（x）=${e}^{\frac{x}{2}}$f（x），从而求导F′（x），从而由导数求解不等式．

解答 解：定义在R上的函数满足f（x）+2f′（x）＞0恒成立，
令F（x）=${e}^{\frac{x}{2}}$f（x），
则F′（x）=$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{x}{2}}$[f（x）+2f′（x）]＞0，
故F（x）是R上的单调增函数，
而F（2）=e¹f（2）=1，
故不等式e^xf（x）＞${e}^{\frac{x}{2}}$（其中e为自然对数的底数）的解集为（2，+∞）；
故答案为：（2，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式，属于中档题．