Question

15．已知等腰三角形ABC中，底边BC=3，∠BAC=120°，$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，若P是BC边上的中点，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AD}$的值是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，先由已知求得AB、AC，再把$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AD}$转化为含有$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$的代数式求解．

解答 解：如图，

∵BC=3，∠BAC=120°，∴AB=AC=$\sqrt{3}$．
又$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，若P是BC边上的中点，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}）$
=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）•（\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{6}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{1}{3}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{6}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{1}{3}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+\frac{1}{2}•|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|•cos120°$
=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．