Question

3．在如图所示的几何体中，平面ACE⊥平面ABCD，四边形ABCD 为平行四边形，
∠CAD=90°，EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，AC=$\sqrt{2}$，AE=EC=1．
（1）求证：CE⊥AF；
（2）若三棱锥F-ACD 的体积为$\frac{1}{3}$，求点D 到平面ACF 的距离．

Answer 1

分析 （1）推导出AD⊥平面AEC，从而AD⊥CE，由勾股定理得AE⊥EC，从而CE⊥平面ADEF，由此能证明CE⊥AF．
（2）设AC的中点为G，连接EG，推导出点F到面ABCD的距离等于点E到面ABCD的距离，由V_F-ACD=V_E-ACD，能求出点D到平面ACF的距离．

解答 证明：（1）∵平面ACE⊥平面ABCD，且平面ACE∩平面ABCD=AC，
∵AD⊥AC，∴AD⊥平面AEC…（1分）
∵CE?平面AEC，∴AD⊥CE，…（2分）
又$AC=\sqrt{2}，AE=EC=1$，∴AC²=AE²+CE²，∴AE⊥EC…（3分）
∵EF∥BC，BC∥AD，∴EF∥AD即A、D、E、F共面，…（4分）
又AE∩AD=D，∴CE⊥平面ADEF，…（5分）
∵AF?面ADEF，∴CE⊥AF．…（6分）
解：（2）设AC的中点为G，连接EG，
∵AE=CE，∴EG⊥AC
∵平面ACE⊥平面ABCD，且平面ACE∩平面ABCD=AC，
∴EG⊥平面ABCD∵EF∥BC，EF?平面ABCD，
∴点F到面ABCD的距离等于点E到面ABCD的距离，即EG…（7分）
∴${V_{F-ACD}}={V_{E-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•EG=\frac{1}{3}$…（8分）
${S_{△ACD}}=\frac{1}{2}AC•AD=\frac{1}{2}•\sqrt{2}•AD$，$EG=\frac{1}{2}AC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
∴${V_{F-ACD}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\sqrt{2}•AD•\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{3}$，所以AD=2…（9分）
∴BC=AD=2，$EF=\frac{1}{2}BC=1$，$FA=FC=\sqrt{A{E^2}+E{F^2}}=\sqrt{2}$，
所以${S_{△FAC}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}•\sqrt{2}•sin{60^0}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$…（10分）
设点D到平面ACF的距离为d，则$\frac{1}{3}{S_{△FAC}}•d=\frac{1}{3}$，…（11分）
解得$d=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，所以点D到平面ACF的距离$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．