Question

12．已知m∈R，命题p：对任意实数x，不等式x²-2x-1≥m²-3m恒成立，若￢p为真命题，则m的取值范围是（-∞，1）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 由对任意x∈R，不等式x²-2x-1≥m²-3m恒成立，运用二次函数的最值求法，可得m²-3m≤-2，解不等式可得m的范围，再由￢p为真命题时，则P为假命题，即可得到所求m的范围．

解答 解：∵对任意x∈R，不等式x²-2x-1≥m²-3m恒成立，
∴${[{{{（{x-1}）}^2}-2}]_{min}}≥{m^2}-3m$，即m²-3m≤-2，
即有（m-1）（m-2）≤0，
解得1≤m≤2．
因此，若￢p为真命题时，则P为假命题，
可得m的取值范围是（-∞，1）∪（2，+∞）．
故答案为：（-∞，1）∪（2，+∞）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用二次函数的最值求法和二次不等式的解法，同时考查命题的真假判断，考查转化和运算能力，属于中档题．