Question

20．若单位向量$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$满足$|2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}|=|\overrightarrow{e_1}|$，则$\overrightarrow{e_1}$在$\overrightarrow{e_2}$方向上投影为-1．

Answer 1

分析 对$|2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}|=|\overrightarrow{{e}_{1}}|$两边平方，并进行数量积的运算即可求出$cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞$的值，从而可求出$\overrightarrow{{e}_{1}}$在$\overrightarrow{{e}_{2}}$方向上的投影．

解答 解：∵$|2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}|=|\overrightarrow{{e}_{1}}|$；
∴$（2\overrightarrow{{e}_{1}}+\overrightarrow{{e}_{2}}）^{2}={\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$；
即$4{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+4\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}={\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$；
∴$4+4cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞+1=1$；
∴$cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞=-1$；
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}$在$\overrightarrow{{e}_{2}}$方向上的投影为$|\overrightarrow{{e}_{1}}|cos＜\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}＞=-1$．
故答案为：-1．

点评 考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，向量投影的定义及计算公式．