Question

5．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N^*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q-p，例如f（12）=4-3=1．数列{f（3ⁿ）}的前100项和为3⁵⁰-1．

Answer 1

分析 当n为偶数时，f（3ⁿ）=0；当n为奇数时，f（3ⁿ）=${3}^{\frac{n+1}{2}}$-${3}^{\frac{n-1}{2}}$=2×${3}^{\frac{n-1}{2}}$，再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：当n为偶数时，f（3ⁿ）=0；
当n为奇数时，f（3ⁿ）=${3}^{\frac{n+1}{2}}$-${3}^{\frac{n-1}{2}}$=2×${3}^{\frac{n-1}{2}}$，
∴S₁₀₀=2（3⁰+3¹+…+3⁴⁹）=$2×\frac{{3}^{50}-1}{3-1}$=3⁵⁰-1．
故答案为：3⁵⁰-1．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．