Question

10．已知函数f（x）=|x-a|+|x+5-a|
（1）若不等式f（x）-|x-a|≤2的解集为[-5，-1]，求实数a的值；
（2）若?x₀∈R，使得f（x₀）＜4m+m²，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1））问题转化为|x+5-a|≤2，求出x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；
（2）问题转化为4m+m²＞f（x）_min，即4m+m²＞5，解出即可．

解答 解：（1）∵|x+5-a|≤2，∴a-7≤x≤a-3，
∵f（x）-|x-a|≤2的解集为：[-5，-1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-7=-5}\\{a-3=-1}\end{array}\right.$，∴a=2．
（2）∵f（x）=|x-a|+|x+5-a|≥5，
∵?x₀∈R，使得f（x₀）＜4m+m²成立，
∴4m+m²＞f（x）_min，即4m+m²＞5，解得：m＜-5，或m＞1，
∴实数m的取值范围是（-∞，-5）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的意义，是一道中档题．