Question

1．设S_n为各项不相等的等差数列a_n的前n 项和，已知a₃a₈=3a₁₁，S₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$}的前n 项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，则由题意知$\left\{{\begin{array}{l}{（{{a_1}+2d}）（{{a_1}+7d}）=3（{{a_1}+10d}）}\\{3{a_1}+\frac{3×2}{2}d=9}\end{array}}\right.$…（2分）
解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=0}\\{{a_1}=3}\end{array}}\right.$（舍去）或$\left\{{\begin{array}{l}{d=1}\\{{a_1}=2}\end{array}}\right.$，…（4分）
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1…（6分）
（2）∵$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{n+1}）（{n+2}）}}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，…（8分）
∴${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n-1}}}}$…（9分）
=$（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$．  
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{{2（{n+2}）}}$…（12分）

点评 本题考查了“裂项求和方法”、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．