Question

11．已知三棱锥的外接球的表面积为25π，该三棱锥的三视图如图所示，三个视图的外轮廓都是直角三角形，则其侧视图面积的最大值为3．

Answer 1

分析 由三棱锥的外接球的表面积为25π，可知外接圆半径R=5，即主视图的斜边长为5，可得高为3．设俯视图三角形的边长为a，b，可得a²+b²=4²，设侧视图的底边为m，利用体积法，则有4m=ab，侧视图面积的最大值S=$\frac{1}{2}•$3m，利用基本不等式即可求解．

解答 解：三棱锥的外接球的表面积为25π，可知外接圆半径R=5，
三个视图的外轮廓都是直角三角形，可得主视图的斜边长为5，底边是4，则高为3．
设俯视图三角形的边长为a，b，可得a²+b²=4²，
设侧视图的底边为m，利用体积法，则有4m=ab，
∵16=a²+b²≥2ab，解得：ab≤8，
又∵4m=ab，
∴m≤2
侧视图面积的S=$\frac{1}{2}$•3m≤3．
故答案为3．

点评 本题主要考查了三棱锥边长与外接圆的关系的建立和三视图的认识和理解，利用条件建立不等式关系是关键．