Question

16．已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果?x∈R，使得f（x）＜2成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得|x-1|+|x+1|≥3，讨论当x≤-1时，当-1＜x＜1时，当x≥1时，去掉绝对值解不等式，最后求并集；
（2）由题意可得2＞f（x）_min，运用绝对值不等式的性质，可得f（x）的最小值，再由绝对值不等式的解法，可得a的范围．

解答 解：（1）若a=-1，f（x）≥3，
即为|x-1|+|x+1|≥3，
当x≤-1时，1-x-x-1≥3，即有x≤-$\frac{3}{2}$；
当-1＜x＜1时，1-x+x+1=2≥3不成立；
当x≥1时，x-1+x+1=2x≥3，解得x≥$\frac{3}{2}$．
综上可得，f（x）≥3的解集为（-∞，-$\frac{3}{2}$]∪[$\frac{3}{2}$，+∞）；
（2）?x∈R，使得f（x）＜2成立，
即有2＞f（x）_min，
由函数f（x）=|x-1|+|x-a|≥|x-1-x+a|=|a-1|，
当（x-1）（x-a）≤0时，取得最小值|a-1|，
则|a-1|＜2，
即-2＜a-1＜2，
解得-1＜a＜3．
则实数a的取值范围为（-1，3）．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查存在性问题的解法，注意转化为最值问题，运用绝对值不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．