Question

8．若关于x的不等式|3x+2|+|3x-1|-t≥0的解集为R，记实数t的最大值为a．
（1）求a；
（2）若正实数m，n满足4m+5n=a，求$y=\frac{1}{m+2n}+\frac{4}{3m+3n}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）问题转化为|3x+2|+|3x-1|≥t，求出|3x+2|+|3x-1|的最小值，从而求出t的范围即可；
（2）根据柯西不等式的性质求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）因为|3x+2|+|3x-1|-t≥0，所以|3x+2|+|3x-1|≥t，
又因为|3x+2|+|3x-1|≥|（3x+2）+（1-3x）|=3，所以t≤3，
从而实数t的最大值a=3．
（2）因为$（\frac{1}{m+2n}+\frac{4}{3m+3n}）（4m+5n）$
=$（\frac{1}{m+2n}+\frac{4}{3m+3n}）[（m+2n）+（3m+3n）]$
$≥{（\sqrt{\frac{1}{m+2n}}•\sqrt{m+2n}+\sqrt{\frac{4}{3m+3n}}•\sqrt{3m+3n}）^2}=9$，
所以$3（\frac{1}{m+2n}+\frac{4}{3m+3n}）≥9$，从而y≥3，
当且仅当$\frac{1}{m+2n}=\frac{2}{3m+3n}$，即$m=n=\frac{1}{3}$时取等号，
所以$y=\frac{1}{m+2n}+\frac{4}{3m+3n}$的最小值为3．

点评 本题考查了绝对值的意义，考查柯西不等式的性质，是一道中档题．