Question

19．已知函数F（x）=xf（x），f（x）满足f（x）=f（-x），且当x∈（-∞，0]时，F'（x）＜0成立，若$a={2^{0.1}}•f（{{2^{0.1}}}），b=ln2•f（{ln2}），c={log_2}\frac{1}{8}•f（{{{log}_2}\frac{1}{8}}）$，则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． a＞b＞c
• B． c＞a＞b
• C． c＞b＞a
• D． a＞c＞b

Answer 1

分析 f（x）=f（-x），函数f（x）是偶函数，可得函数F（x）=xf（x）是奇函数．由当x∈（-∞，0]时，F'（x）＜0成立，可得函数F（x）在x∈（-∞，0]时单调递减，因此函数F（x）在x∈R上单调递减．

解答 解：∵f（x）=f（-x），函数f（x）是偶函数，∴函数F（x）=xf（x）是奇函数．
∵当x∈（-∞，0]时，F'（x）＜0成立，∴函数F（x）在x∈（-∞，0]时单调递减，
因此函数F（x）在x∈R上单调递减．
∵2^0.1＞1，ln2∈（0，1），$lo{g}_{2}\frac{1}{8}$＜0，$a={2^{0.1}}•f（{{2^{0.1}}}），b=ln2•f（{ln2}），c={log_2}\frac{1}{8}•f（{{{log}_2}\frac{1}{8}}）$，
∴a＜b＜c．
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性、指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．