Question

20．当x＞2时，不等式x²-ax+9＞0恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，6）．

Answer 1

分析 问题转化为a＜x+$\frac{9}{x}$在（2，+∞）恒成立，令f（x）=x+$\frac{9}{x}$，（x＞2），根据函数的单调性求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：当x＞2时，不等式x²-ax+9＞0恒成立，
即a＜x+$\frac{9}{x}$在（2，+∞）恒成立，
令f（x）=x+$\frac{9}{x}$，（x＞2），则f′（x）=1-$\frac{9}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞3，令f′（x）＜0，解得：2＜x＜3，
故f（x）在（2，3）递减，在（3，+∞）递增，
故f（x）的最小值是f（3）=6，
故a＜6，
故答案为：（-∞，6）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．