Question

5．已知函数f（x）=-$\frac{n}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+2mx．
（1）若m=3，n=1，求f（x）的极值；
（2）若n=-1，-2＜m＜0，f（x）在[1，4]上的最大值为$\frac{16}{3}$，求f（x）在该区间上的最小值．

Answer 1

分析 （1）把m，n的值代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到导函数的零点，从而求得原函数的极值点，求出极值；
（2）把n=-1代入函数解析式，求出导函数，由函数的单调性求得f（x）在[1，4]上的最大值为f（4）=8m+$\frac{40}{3}=\frac{16}{3}$．求得m值，进一步求出函数在区间[1，4]上的最小值．

解答 解：（1）当m=3，n=1时，$f（x）=-\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}+6x$，
f′（x）=-x²-x+6=-（x-2）（x+3），
当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（-3，2）时，f′（x）＞0．
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-3），（2，+∞）；单调增区间为（-3，2）．
∴f（x）的极大值为f（2）=$\frac{22}{3}$；极小值为f（-3）=$-\frac{27}{2}$．
（2）当n=-1，-2＜m＜0时，$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}+2mx$，f′（x）=x²-x+2m．
令f′（x）=0，得${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{1-8m}}{2}，{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{1-8m}}{2}$，
f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减．
当-2＜m＜0时，有x₁＜1＜x₂＜4，
∴f（x）在[1，4]上的最小值为f（x₂），又f（4）＞f（1），
∴f（x）在[1，4]上的最大值为f（4）=8m+$\frac{40}{3}=\frac{16}{3}$．
解得m=-1，x₂=2，
故f（x）在[1，4]上的最小值为f（2）=$-\frac{10}{3}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．