Question

15．已知△ABC中，AC=2，BC=4，AB=2$\sqrt{7}$，且D是BC的中点．
（1）求AD的长；
（2）如图，点P是以∠ACD为圆心角的劣弧AD上任意一点，求PA²+PD²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）在三角形ABC中，利用余弦定理求出cos∠ACB的值，进而确定出∠ACB度数，在三角形ACD中求出AD的长即可；
（2）设PA=m，PD=n，由题意求出∠APD度数，在三角形APD中，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出mn的范围，进而确定出m²+n²的范围，即可确定出所求式子范围．

解答 解：（1）∵△ABC中，AC=2，BC=4，AB=2$\sqrt{7}$，且D是BC的中点，
∴由余弦定理得：cos∠ACB=$\frac{4+16-28}{2×2×4}$=-$\frac{1}{2}$，
∴∠ACB=$\frac{2π}{3}$，
又AC=CD=2，
∴AD=2×2×sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$；
（2）连接AP，PD，如图所示，
设PA=m，PD=n，由题意：∠APD=$\frac{1}{2}$（2π-$\frac{2π}{3}$）=$\frac{2π}{3}$，
则在△APD中，m²+n²=12-mn，
又m²+n²≥2mn，
∴12-mn≥2mn，
解得：mn≤4，
又mn＞0，
∴0＜mn≤4，
则8≤m²+n²＜12．

点评 此题考查了余弦定理，基本不等式的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．