Question

6．函数f（x）的定义域为R，周期为1，当0≤x＜1时f（x）=x，若函数f（x）的图象与$g（x）=2{x^2}+\sqrt{k}$的图象只有一个交点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{1}{64}，1]$
• B． $[\frac{1}{8}，1]$
• C． $（\frac{1}{64}，1）$
• D． $（\frac{1}{8}，1）$

Answer 1

分析 画出函数的图象，利用函数f（x）的图象与$g（x）=2{x^2}+\sqrt{k}$的图象只有一个交点，列出方程转化求解即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为R，周期为1，当0≤x＜1时f（x）=x，函数f（x）的图象与$g（x）=2{x^2}+\sqrt{k}$的图象，如图，y=f（x）的图象与y=g（x）的图象只有一个交点，

可知2x²+$\sqrt{k}$=x只有一个公共点，可得△=1-8$\sqrt{k}$=0，解得k=$\frac{1}{64}$，
此时，直线y=x（x∈（0，1））与y=2x²+$\sqrt{k}$相切，有两个交点，
其中函数y=2x²+$\sqrt{k}$在（-1，0），只有一个交点，
当x=-1时，g（-1）=2+$\frac{1}{8}$＞1，说明x＜-1没有公共点，当k＞1时，g（0）=$\sqrt{k}$＞1没有公共点．
函数f（x）的图象与$g（x）=2{x^2}+\sqrt{k}$的图象只有一个交点，结合图象可得k$∈（\frac{1}{64}，1）$．
故选：C．

点评 本题考查函数的图象的应用，函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．