Question

16．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S₄=24，S₇=63．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b_n}={2^{a_n}}+{（{-1}）^n}•{a_n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的求和公式及其通项公式即可得出．
（II）通过分类讨论，利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）因为{a_n}为等差数列，
所以$\left\{\begin{array}{l}{S_4}=4{a_1}+\frac{4×3}{2}d=24\\{S_7}=7{a_1}+\frac{7×6}{2}d=63\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{a_1}=3\\ d=2\end{array}\right.⇒{a_n}=2n+1$．
（Ⅱ）∵${b_n}={2^{a_n}}+{（{-1}）^n}•{a_n}={2^{2n+1}}+{（{-1}）^n}•（{2n+1}）=2×{4^n}+{（{-1}）^n}•（{2n+1}）$
∴${T_n}=2（{{4^1}+{4^2}+…+{4^n}}）+[{-3+5-7+9-…+{{（{-1}）}^n}（{2n+1}）}]=\frac{{8（{{4^n}-1}）}}{3}+{G_n}$，
当n=2k（k∈N^*）时，${G_n}=2×\frac{n}{2}=n$，∴${T_n}=\frac{{8（{{4^n}-1}）}}{3}+n$
当n=2k-1（k∈N^*）时，${G_n}=2×\frac{n-1}{2}-（{2n+1}）=-n-2$，
∴${T_n}=\frac{{8（{{4^n}-1}）}}{3}-n-2$，∴${T_n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{{8（{{4^n}-1}）}}{3}+n（{n=2k，k∈{N^*}}）\\ \frac{{8（{{4^n}-1}）}}{3}-n-2（{n=2k-1，k∈{N^*}}）\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．